La notion de  catégorie fait son apparition en mathématiques dans la première moitié du vingtième siècle. Dès ses débuts ce nouveau langage transforme irréversiblement les approches traditionnelles de la géométrie et de l'algèbre. La priorité est donnée aux relations entre objets en reléguant à l'arrière-plan la façon dont ces objets sont constitués.

 

Cela entraine d'un côté une réflexion renouvelée sur les fondements des mathématiques, et permet de l'autre une structuration plus pertinente des notions mathématiques, séparant l'universel du spécifique. Les foncteurs entre catégories décrivent le passage d'une structure à une autre tandis que les transformations naturelles de foncteurs mettent en perspective comment deux tels passages sont reliés entre eux. Au final, on obtient une notion d'équivalence de structures qui s'avère extrêmement utile.

 

Mon exposé est une introduction pédestre au langage des catégories et foncteurs, accompagnée par une réflexion sur la notion d'espace qui en découle et qui intègre notamment une axiomatisation de ce que c'est qu'une déformation continue . Les mathématiciens utilisent souvent le terme grec homotopie pour ces déformations de sorte que le domaine qui étudie ces structures (introduit par Daniel Quillen fin des années 1960) s'appelle algèbre homotopique.